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首先，连接OC，可以发现∠COA=∠CBO=45°，所以∠ABC=2×45°=90°，所以四边形BGAO是一个矩形。
因为D是射线AB上的一点，所以AB=AD。
考虑三角形AOD和BHG：
∠OAG=∠BAG=∠BGO=90°，所以OA∥BG。
∠OAH=∠GHB=45°，所以AH=BH。
因为G是OD的中点，所以GO=GD。
又因为AB=AD，所以∠ODA=∠OAB=45°，所以三角形OBD是等腰直角三角形，所以BO=BD。所以B0是三角形ABB0的中线，所以AB=2B0。
在四边形BGAO中，因为OA∥BG，所以∠BGA=180°-∠OGA=90°，所以GA=AG=OB=BC/2。
所以BH=AH=OB+BG=BC/2+BC/4=3BC/4，所以BG=BH/3。
由三角形AGH和BHG相似，可得AH/HB=2，即AH=2BG+BH。
证毕。
这是一张数学作业的图片，上面画了一个几何图形并标注了相关的条件和问题。具体来说：
? 图形是一个四边形ABCD。
? 点P在AD上。
? 已知条件是：AB=AC，并且∠ACP+∠CBP=180°。
? 求证的是：∠APC=∠BPD。
根据这些信息，我们可以尝试证明这个结论。首先，由于AB=AC，所以∠A不是直角。然后，因为∠ACP+∠CBP=180°，所以这两个角互补。这意味着它们可以组成一个平角，即∠APC+∠CPD=180°。因此，∠APC=∠BPD。
最后，我们需要验证这个结论是否正确。如果正确的话，那么就可以得出结论：∠APC=∠BPD。
是的，当连接AD之后，在四边形或三角形等几何图形中，角CAD和角ACP是直线AD被线段CP所截形成的同旁内角。同旁内角是指位于两条被截线（在这个情况下是AD和CP）之间并且在截线（CP）的同一侧的两个角。所以根据您描述的情况，角CAD和角ACP符合同旁内角的定义。
如图1，在平面直角坐标系中，A(a,b)为第一象限中一点，且a,b满足b-a=√-(a-2)^2，AB⊥Y轴于B，AC⊥X轴于C。
（1）求⊿AOC的面积；
（2）如图2，E为线段OB上一点，连接AE，过A作AF⊥AE交X轴于F，连接EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，求DG+1/2EF的值；
（3）如图，D为X轴上一点，AC=CD，E为OB上动点，连接DA,CE，F为CE中点，若BF⊥FK交AD于K，请问∠KBF的大小是否变化？若不改变，求此角，若改变，求出变化范围。
（1）解析：∵A(a,b)为第一象限中一点，且a,b满足b-a=√-(a-2)^2，
-(a-2)^2>=0==>(a-2)^2<=0
∴(a-2)^2=0==>a=2
∴b-a=0==>b=a==>A(2,2)
∵AB⊥Y轴于B，AC⊥X轴于C。
∴S(⊿AOC)=1/2*2*2=2
(2)解析：由（1）知四边形ABOC为边长是2的正方形
∵E为线段OB上一点，过A作AF⊥AE交X轴于F，
∠BAC=∠EAF==>∠BAE=∠CAF
∴⊿BAE≌⊿CAF==>AE=AF，BE=CF
连接EF，ED平分∠OEF交OA于D，过D作DG⊥EF于G，
∵OA平分∠BOC
∴点D为⊿OEF的内心
令BE=CF=m
∴OE=2-m，OF=2+m
过D分别为作DH⊥OE于H，DM⊥OF于M
∴DM=DH=DG=r=OH=OM
∴EF=GE+GF=HE+MF=2-m-r+2+m-r=4-2r
∴DG+1/2EF=r+1/2(4-2r)=2
(3)解析：如图E为OB上动点，连接DA,CE，
∵ABOC为正方形，D为X轴上一点，AC=CD，
∴⊿ACD为等腰Rt三角形
∵BF⊥FK交AD于K，连接BK
延长BF交AC延长线于G，连接BK
∵OB//AC，F为CE中点，∴⊿EBF≌⊿CGF
∴BF=FG==>FK为BG中垂线==>BK=KG
过K作KM//AC交BA延长线于M，作KN//BM交AC于N
易知AMKN为正方形
∴∠KBM=∠NKB
⊿KMB，⊿KNG为Rt三角形
易知⊿KMB≌⊿KNG==>∠BKM=∠GKN
∴∠BKG=90°
∴⊿BKG为等腰Rt三角形
∴∠KBF=45°
∴∠KBF的大小为定值，即不变
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