中考数学模型100题 中考数学模型费马点

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初中(初高衔接?)数学常用公式

1．语言叙述渗透高中知识

数学语言是自然语言、符号语言、图象语言游搭等的有机结合.有些中考试题中的语言叙述有浓烈的高中数学色彩.

例1．（绍兴市中考题）如果一个序列满足为自然数），那么.

解析：各式相加得从而

点评：已知条件是数列的递推公式，本题的叙述方式采用了符号语言，具有高中代数的特征；另外解题方法也是数列问题中常用的方法，是整体思想的运用.这道试题的得分率极低，原因是学生看不懂题目的意思或解题方法想不到.在平时教学中要让学生适当接触用简洁的符号语言表述的题目以及一些需要创新的解题方法.

例2． （苏州市中考题）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作～的旋转，旋转时露出的⊿ABC的面积（S）随着旋转角度（）的变化而变化.下面表示S与的关系的图像大致是（ ）

解析：可通过操作发现⊿ABC的面积在～逐渐增大，在～又逐渐减小.故选B.

点评：本题中对图象语言的翻译，以及其叙述方式都具有高中数学的特征.解决这类问题主要是求出两个变量之间的函数关系式，但本题只要观察就可得到变量之间的变化规律.这类试题较好地体现了《课程标准》所关注的“图形变化过程的基本规律首磨弯”以及“函数是刻画变化着的事物间的相互关系”的理念.

2．知识背景渗透高中知识

有一些中考试题以中学数学知识为载体，而设计直接来源于高中数学，有高中数学的背景.

例3．（玉溪市中考题）对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，

计算f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= .

解析:,显然不可能将代入求解,但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶式的话,则易知=1,从而结果为2006.

点评：该函数的表达形式是高中函数的表达形式，是超越函数.要求学生用分析的态度、探究的目光，通过赋值尝试及数学化活动等实现知识原理、方法的迁移.解决这类问题的关键是掌握新规则，然后运用归纳与类比的方法，使问题获得解决，此类试题旨在培养学生者闷综合运用知识解决问题的能力，是“学生的可持续发展”理念的体现.

A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；

B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.

如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包总公司获利多？

如果承包年，请用含的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额（单位：万元）

解析：通过分析，不难发现每次上缴利润都与上一次相差一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，还可以推得下面的公式来计算它们的和S.（其中表示数的个数，表示第一个数，表示最后一个数）.

（1）（万元）；（万元）.

承包给企业B，总公司获利多.

（2）；

点评：本题取材于高中代数中的“等差数列”求和公式的内容. 学生可探索规律导出等差数列求和公式，为今后学习高中数学打下基础，也为初、高中数学知识的衔接起到了有益的承上启下的作用.事实上等差数列的内容小学、初中都不时出现，所以很有必要讲一些等差数列的基本内容.针对学情，适当补充一些课本外的内容应该是被提倡的教学行为，这也是我国数学教育的优秀传统.用更好、更有份量的知识武装学生的头脑可能会更高效的培养学生的思维，也更有利于减轻学生的学业负担.

3．推理方式渗透高中知识

3.1 加强了合情推理的考查

合情推理主要有毛估、类比、归纳等.《课程标准》明确指出合情推理能力在科学发现和学生发展中具有不可代替的作用.因此， 中考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合情推理能力.

例5.（泰州市中考题）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，例如正方体都是相似体.请归纳出相似体的三条主要性质①_____________;②_____________;③________________.

解析：这是由一类事物（相似形）到与其相似的一类事物（相似体）间的类比. 或者说是由低维（平面）到高维（空间）的类比.通过两个正方体，类比相似形不难得出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；相似体表面积的比等于相似比的平方；相似体体积的比等于相似比的立方.

点评：本题要求学生分析、类比、归纳，整个解题过程是一个探究新知识的过程，也是一个新知识形成的过程，充分体现了由特殊到一般的推理方法.

例6.（济南市中考题）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_____________________________．

解析：根据定义的“F”运算算几步：449，就会发现规律，结果是8.

点评：所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段.本题还有算法语言的特征，与信息技术相联系.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些归纳性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.

例7(启东中学自招班试题)已知S=,则S的整数部分是________.

解析： <

>

即. ∴S的整数部分是165.

点评：直接计算很繁,若通过“放缩法”,估算出S的取值范围,问题就迎刃而解.

3.2加强了“渗透型”问题的考查

所谓“渗透型”问题是指与高中数学概念相关的问题.它既能考查学生对新知识的理解接受能力，又能考查学生适应新问题、运用新知识解决实际问题的能力.因而有利于学生在获得解答的过程中养成探究习惯，提高自学水平和数学素养.

例8（鄂州市中考题）从A、B、C三人中选取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作一般地，从个元素中选取个元素的组合，记作.根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有___________种.

解析：根据题中的组合的意义及其计算公式，有种.

点评：本题取材于高中代数中的“组合”内容，要求学生通过阅读自学，弄清楚组合的意义及其计算公式，并能解决有关问题.既能考查学生对“组合”这一新知识的理解与运用能力，又能锻炼学生获取知识的自学能力，因而有利于学生在获得解答的过程中，养成探索习惯提高自学水平和数学素养，这道题让学生既能“学会”，又能“会学”，学会终生学习.

3.3 代数推理与高中数学接轨

代数推理题在中考中历来倍受重视.近年来更是出现了不少观点高、设问新颖的代数推理题.

例9（荆门市中考题）已知实数、、满足，

求、、的值.

解法一：由已知得① ， ②，

将①代入②，整理得③.由①、③可知、是关于的方程④的两个实数根，即而，将代入④得，即.

.

解法二：设①

②.将①代入②得.整理得，.将、的值同时代入①得.

点评：解法一采用的是构造法及逼近法，解法二采用的是均值换元法，都是创造性地解决问题.本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴，然而其形式到方法都已在更高层次上考查学生的逻辑思维能力，是命题者运用高中数学中的代数推理方法，居高临下而设计的.在中考复习时，构造法应作为一个专题进行复习，让学生系统掌握用构造法解题.

在对待渗透高中数学知识的中考题时要注意以下两个方面：一是试题的起点高，但落点低，即试题的设计虽来源于高中数学，但解决的方法是初中所学的数学知识，而不是将高中数学引入中考；二是试题有利于区分考生能力，在今后中考中还会出现，在复习时要加强“双基”，引导学生构建知识网络，提高学生的应变能力和创新能力，才能更适应新课程的中考要求.另外由于初中课标教材和高中教材的深度衔接不上，所以要适当补充初、高中接轨的内容，开拓学生的视野，提高学生的思维和创新能力，同时为了适应将来的高中学习要培养学生逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑，会创新和独立获取新知识的良好习惯，提高学习数学的科学素养.这样才能在今后的学习中立于不败之地.

1．语言叙述渗透高中知识

数学语言是自然语言、符号语言、图象语言等的有机结合.有些中考试题中的语言叙述有浓烈的高中数学色彩.

例1．（绍兴市中考题）如果一个序列满足为自然数），那么.

解析：各式相加得从而

点评：已知条件是数列的递推公式，本题的叙述方式采用了符号语言，具有高中代数的特征；另外解题方法也是数列问题中常用的方法，是整体思想的运用.这道试题的得分率极低，原因是学生看不懂题目的意思或解题方法想不到.在平时教学中要让学生适当接触用简洁的符号语言表述的题目以及一些需要创新的解题方法.

例2． （苏州市中考题）如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心作～的旋转，旋转时露出的⊿ABC的面积（S）随着旋转角度（）的变化而变化.下面表示S与的关系的图像大致是（ ）

解析：可通过操作发现⊿ABC的面积在～逐渐增大，在～又逐渐减小.故选B.

点评：本题中对图象语言的翻译，以及其叙述方式都具有高中数学的特征.解决这类问题主要是求出两个变量之间的函数关系式，但本题只要观察就可得到变量之间的变化规律.这类试题较好地体现了《课程标准》所关注的“图形变化过程的基本规律”以及“函数是刻画变化着的事物间的相互关系”的理念.

2．知识背景渗透高中知识

有一些中考试题以中学数学知识为载体，而设计直接来源于高中数学，有高中数学的背景.

例3．（玉溪市中考题）对于正数x，规定f（x）= ,例如f（3）=，f（）=，

计算f（）+ f（）+ f（）+ …f（）+ f（）+ f（1）+ f（1）+ f（2）+ f（3）+ … + f（2004）+ f（2005）+ f（2006）= .

解析:,显然不可能将代入求解,但是若注意到其中的对偶性,进而构造对偶式的话,则易知=1,从而结果为2006.

点评：该函数的表达形式是高中函数的表达形式，是超越函数.要求学生用分析的态度、探究的目光，通过赋值尝试及数学化活动等实现知识原理、方法的迁移.解决这类问题的关键是掌握新规则，然后运用归纳与类比的方法，使问题获得解决，此类试题旨在培养学生综合运用知识解决问题的能力，是“学生的可持续发展”理念的体现.

A：每年结算一次上缴利润，第一年上缴利润1万元，以后每年比前一年增加1万元；

B：每半年结算一次上缴利润，第一个半年上缴利润0.3万元，以后每半年比前半年增加0.3万元.

如果承包4年，你认为应该由哪家企业承包总公司获利多？

如果承包年，请用含的代数式分别表示两企业上缴利润的总金额（单位：万元）

解析：通过分析，不难发现每次上缴利润都与上一次相差一个相等的常数，具有这种规律的一列数，除了直接相加外，还可以推得下面的公式来计算它们的和S.（其中表示数的个数，表示第一个数，表示最后一个数）.

（1）（万元）；（万元）.

承包给企业B，总公司获利多.

（2）；

点评：本题取材于高中代数中的“等差数列”求和公式的内容. 学生可探索规律导出等差数列求和公式，为今后学习高中数学打下基础，也为初、高中数学知识的衔接起到了有益的承上启下的作用.事实上等差数列的内容小学、初中都不时出现，所以很有必要讲一些等差数列的基本内容.针对学情，适当补充一些课本外的内容应该是被提倡的教学行为，这也是我国数学教育的优秀传统.用更好、更有份量的知识武装学生的头脑可能会更高效的培养学生的思维，也更有利于减轻学生的学业负担.

3．推理方式渗透高中知识

3.1 加强了合情推理的考查

合情推理主要有毛估、类比、归纳等.《课程标准》明确指出合情推理能力在科学发现和学生发展中具有不可代替的作用.因此， 中考中独具匠心地设置了一些问题考查学生的合情推理能力.

例5.（泰州市中考题）我们把相似形的概念推广到空间：如果两个几何体大小不一定相等，但形状完全相同，就把它们叫做相似体，例如正方体都是相似体.请归纳出相似体的三条主要性质①_____________;②_____________;③________________.

解析：这是由一类事物（相似形）到与其相似的一类事物（相似体）间的类比. 或者说是由低维（平面）到高维（空间）的类比.通过两个正方体，类比相似形不难得出相似体的三条主要性质：相似体的一切对应线段（或弧）长的比等于相似比；相似体表面积的比等于相似比的平方；相似体体积的比等于相似比的立方.

点评：本题要求学生分析、类比、归纳，整个解题过程是一个探究新知识的过程，也是一个新知识形成的过程，充分体现了由特殊到一般的推理方法.

例6.（济南市中考题）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

若n＝449，则第449次“F运算”的结果是_____________________________．

解析：根据定义的“F”运算算几步：449，就会发现规律，结果是8.

点评：所谓归纳，是指通过对特例的观察和综合去发现一般规律，它是发现和认识规律的重要手段.本题还有算法语言的特征，与信息技术相联系.平时的教学不能局限于课本，可以设计一些归纳性、类比性的活动，让学生经历一个观察、试验等活动过程，在活动中通过对大量特殊情形的观察猜想出一般情形的结论，从而探索事物的内在规律.

例7(启东中学自招班试题)已知S=,则S的整数部分是________.

解析： <

>

即. ∴S的整数部分是165.

点评：直接计算很繁,若通过“放缩法”,估算出S的取值范围,问题就迎刃而解.

3.2加强了“渗透型”问题的考查

所谓“渗透型”问题是指与高中数学概念相关的问题.它既能考查学生对新知识的理解接受能力，又能考查学生适应新问题、运用新知识解决实际问题的能力.因而有利于学生在获得解答的过程中养成探究习惯，提高自学水平和数学素养.

例8（鄂州市中考题）从A、B、C三人中选取二人当代表，有A和B、A和C、B和C三种不同的选法，抽象成数学模型是：从3个元素中选取2个元素的组合，记作一般地，从个元素中选取个元素的组合，记作.根据以上分析，从6人中选取4人当代表的不同选法有___________种.

解析：根据题中的组合的意义及其计算公式，有种.

点评：本题取材于高中代数中的“组合”内容，要求学生通过阅读自学，弄清楚组合的意义及其计算公式，并能解决有关问题.既能考查学生对“组合”这一新知识的理解与运用能力，又能锻炼学生获取知识的自学能力，因而有利于学生在获得解答的过程中，养成探索习惯提高自学水平和数学素养，这道题让学生既能“学会”，又能“会学”，学会终生学习.

3.3 代数推理与高中数学接轨

代数推理题在中考中历来倍受重视.近年来更是出现了不少观点高、设问新颖的代数推理题.

例9（荆门市中考题）已知实数、、满足，

求、、的值.

解法一：由已知得① ， ②，

将①代入②，整理得③.由①、③可知、是关于的方程④的两个实数根，即而，将代入④得，即.

.

解法二：设①

②.将①代入②得.整理得，.将、的值同时代入①得.

点评：解法一采用的是构造法及逼近法，解法二采用的是均值换元法，都是创造性地解决问题.本题考查的内容并没有超出中学教材的范畴，然而其形式到方法都已在更高层次上考查学生的逻辑思维能力，是命题者运用高中数学中的代数推理方法，居高临下而设计的.在中考复习时，构造法应作为一个专题进行复习，让学生系统掌握用构造法解题.

中考考费马点的原因是因为费马点问题是一个经典的几何问题，费做历扮马点涉及到三角形纯灶和其内部一点的关系。通过解决费马点问题，可以考察学生的几何思维、推理能力和问题解决能力。此外，费马点问题在数学、物理和工程等领域也有广泛的应用，中考将其纳入考试范围，有助于学生更好地理解和应用数学知识。

最难的初中数学题?

这是09年浙江省的中考附加题，我觉得挺难的···若P为△ABC所在平面上一点,且盯迹扰∠APB=∠BPC=∠CPA=120°,则点P叫做△ABC的费马点. (1)若点P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°,PA=3,PC=4,则PB的值为;

(2)如图5,在锐角△ABC外侧作等边△ACB′,连结BB′.

求证:BB′过的费马点P,且BB′=PA+PB+PC.

以B为顶点，往BC边外旋转BPC 60度州运得到BDE，根据费马点的定义，以及旋转，有：

1) ∠APB=120度

2) ∠BDE=∠BPC=120度

3) A、P、D、E四点共线

4) △BPD是等边三角形

5) ∠CBE=60度

因为∠ABC=60度，所以

6) ∠ABE=∠ABC + ∠CBE=120度

根据4)、6)有：

7) ∠ABP + ∠DBE=60度

因为∠ABP + ∠BAP=60度，所以

8) ∠DBE=∠BAP

由1)、2)、8)知道△APB相似于△BDE，于是AP/BP=BD/DE=BP/CP

从而BP^2=AP*CP，即BP=2√3

由∠BPA=120°，∠AB′C=60°，

∴A，P，C，B′四点共圆。

∴∠APB′=∠ACB′=60°，

∴∠APB+∠APB′=180°，

∴BPB′三点共线。

在PB′上取一点D，使得∠PCD=60°，

由∠CPB′=120°-60°=60°，

∴△PCD是等边三角形，凯旦得：PC=PD（1），

在△APC和△B′DC中，

AC=B′C，由∠PCD=∠ACB′=60°，

∴∠ACP=∠B′CD，PC=DC，

∴△ACP≌△B′CD，得AP=DB′（2）

由（1），（2)得：

BP+AP+CP=BB′。证毕。

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