中考几何综合旋转专题 初中几何旋转经典例题

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【中考必会】全网最详细的12345模型

揭秘中考几何神器——12345模型

在初中数学的世界里，12345模型就像一把解锁几何难题的钥匙，它将复杂的问题简化为清晰的结构，对于提升几何问题解决能力大有裨益。掌握这个模型，是每个初中生学习几何不可多得的宝贵工具。

第一步：深入理解模型

在探索12345模型之前，让我们先从基础概念出发。考虑这个经典的例题：

【例题1】 如图所示，RtΔBAC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，∠ACB的角平分线交AB于点F，∠CBA的角平分线交CF于点D，同时交AC于点E。利用角平分线定理，我们能得到关键的数据。

通过角平分线的性质，我们可以推导出一系列关系，如：AD = DB 和 AE = EC。这将帮助我们快速计算出BE、CE的长度，进而得出整个三角形的结构。通过这种逻辑，我们可以归纳出五条基本公式：

• 123模型的第一要义： tan(α + β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α * tan β)
• 45模型的基石： tan(α - β) = (tan α - tan β) / (1 + tan α * tan β)
• （其余三个公式略，关键在于掌握这两条基本的和差公式）

这些公式不仅是选择题的利器，也是解答压轴题的关键所在。

实战演练： 在实际问题中，12345模型的应用能带来显著的简化。例如：

【例题1解析】 格点型题目，通过模型，我们能迅速定位关键点，如格点的位置和比例关系，直接选出答案A。

【例题2解析】 动点（旋转）型题目，常规方法可能冗长繁琐，而12345模型则能帮助我们直观地分析旋转后的图形，节省解题时间。

总的来说，12345模型不仅提供了解题策略，更培养了同学们的逻辑思维和问题转化能力。熟练掌握并灵活运用这个模型，将为你的几何学习带来突破性的进步。现在，就让我们一起踏上探索几何奥秘的旅程吧！

求中考数学几何证明题(22丶24丶28)及其他较难题常用技巧.最好再附上...

基本图形（1）

这是最常见的直线形状，很简单了，但是有两个重要的规律要记住，若AC=BD则AB=CD，当然相反也是成立的。

基本图形（2）

上面一个是线段的最基本的图形，这个是角最基础的图形，这里的规律就是若∠1=∠2，则∠EAC=∠DAB,当然它的逆命题也是成立的。

基本图形（3）——箭头模型

这个图形我们在做题时候见得就比较多了，记住一个规律∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C，也就是∠BPC=∠A+∠B+∠C。我们在做题过程中，发现这个形状就能找到这个规律，在我们求角的度数，证明三角形全等等好多情况下都能用到。

基本图形（4）——蝶形

这个形状相信都不陌生，都见过它的好多变种，但无论怎么变有一个规律是不会变的，那就是∠A+∠B=∠C+∠D。

基本图形（5）

如上图，A、O、B在同一直线上，OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，则有OD⊥OE,或∠DOE=90°。

基本图形（6）

上图模型是不是有点熟悉，前面的箭头模型多了点东西，但是如果这个模型还满足BP、CP是角平分线的话，咋还有∠BPC=90°+1/2∠BAC

基本图形（7）

如上图，①AC平分∠DAB,②AD=CD,③DC∥AB,这个模型如果满足前面三个条件中的任两个，那么就能推出第三个。

基本图形（8）

这个是角平分线定理和逆定理的模型不再说了，就是AP为角平分线，则PC=PB，反过来也成立！

基本图形（9）

这个图形已经复杂了，严格地说已经不能算基本图形，但在实际应用中比较常见还是单列，它是蝶形，箭头形状组合而成。如果ab，CDE在同一直线上，那么夹在两平行线间同底的三角形面积相等，或者等底等高的三角形面积相等。

基本图形（10）

这个也是复杂图形，“洋葱形”。CH垂直平分AB，则CA=CB,DA=DB,EA=EB,FA=FB,GA=GB,HA=HB。同样反过来也是成立的。有些朋友可能已经看出来了，这是垂直平分线的定理与逆定理。

几何题要怎么做(初中)?

1按定义添辅助线:

如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°;证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍;证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线:

(1)平行线是个基本图形:

当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

(2)等腰三角形是个简单的基本图形:

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形:

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行

(7)相似三角形:

相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题，这类题目中往往有多种浅线方法。

(8)特殊角直角三角形

当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1:1:√2;30度角直角三角形三边比为1:2:√3进行证明

(9)半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦---直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

初中数学几何题解题技巧二.基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1:有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法2:含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。

方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于

第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

(1)连对角线或平移对角线:

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线

(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有:

(1)在梯形内部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形内平移两腰

(4)延长两腰

(5)过梯形上底的两端点向下底作

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