反演变换例题 反演变换在高考中的应用

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反演点的性质与应用

根据场来求源，则为反演，通常反演是很困难的。其最大的特点就是多解性，这是不可避免的，我们只能加一些规范来减少多解性。更详细的内容请参考反演有关的书籍。

1、反演中心不存在反演点。不共线的两对反演点共圆，且此圆与反演基圆正交。与反演基圆正交的圆，其反象为原圆。

2、反演变换φ把通过反演中心O的任一条直线变成自身。即通过反演中心的任何直线都是该反演变换下的不变图形。（直线→直线）

定理

反演变换把（广义）圆周变成（广义）圆周。这个定理常称为反演变换的保圆性。

任何两条直线在它们的交点A的夹角，等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

两个相交圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

一条直线和一个圆周在交点A的夹角等于它们的反演图形在相应点A′的夹角，但方向相反。

反演变换的应用——阿波罗尼奥斯(Apollonius)问题

让我们深入探讨反演变换中的经典难题——阿波罗尼奥斯问题，这是一段充满历史韵味的数学之旅，涉及圆与艺术般的几何构图。阿波罗尼奥斯，这位古希腊数学家的智慧遗产，为我们揭示了如何仅用尺规，优雅地构建出与三个已知圆均相切的新圆。

首先，让我们通过GeoGebra软件的演示，领略这三种神奇的场景：内切、外切以及两内切一外切。每个场景背后，都隐藏着圆幂、根轴和根心这三个关键概念的巧妙运用。

圆幂揭示秘密：圆幂定理，如同一颗璀璨的宝石，隐藏在两条相交圆线的交点与圆幂之间的数学关系中。它描绘的是点与圆的亲密对话，每个点的坐标和圆的方程交织出一幅精妙的几何画卷。

根轴与轨迹交织：想象一下，当两个等幂圆的舞伴们携手起舞，它们的根轴——那条连结它们的直线，就如同几何舞步的轨迹，它与圆心的连线优雅地垂直，有时甚至成为切线或共享弦的舞台。

根心的神秘位置：三个圆的根轴如同三重奏的旋律，或汇聚于一点，或平行延伸。根心定理，如同指挥棒，引导我们理解圆心位置与根轴方程间的和谐共振。

当两根轴的旋律交织，它们揭示了第三个方程的秘密：无论公共解的旋律如何奏响，第三个轴总是与前两者形成和谐的和弦。两圆的位似中心，宛如音乐中的高音和低音，外公切线与内公切线的交汇，分别奏出外位似中心和内位似中心的旋律，而三个不同圆的外位似中心，则如同音乐的主旋律，共同谱写了一曲几何的交响乐。

极点与极线的交响：圆的极点，如同乐曲中的高潮，是切线弦与圆的亲密接触点，而极线则是引导我们探寻几何乐章的线索。阿波罗尼奥斯问题，就像一首尺规作图的交响诗，通过根心、外位似中心和极点的巧妙组合，描绘出圆的作图艺术。

尽管作图的过程可能显得复杂，但实践出真知。在精心设计的课件中，我们提供自定义工具，如根心等，只需轻轻一点，便能解锁这些几何奥秘。让我们一起沉浸在这充满智慧的旋律中，感受阿波罗尼奥斯问题的魅力吧。

反演变换

对于平面上两个半径不等且圆心不同的圆⊙A,⊙B.

总存直线AB上的两点M, N, 使得分别存在以M, N为中心的位似变换, 将⊙A变为⊙B.

根据位似比的正负将二者区分为外位似中心M和内位似中心N.

(当相应的公切线存在时, 内, 外位似中心就是两圆内, 外公切线的交点).

由位似的性质可得:

当两圆不内含或内切时, 存在⊙M, 使得关于⊙M的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A);

当两圆不外离或外切时,存在⊙N, 使得关于⊙N的反演交换将⊙A变为⊙B (同时⊙B变为⊙A).

于是根据两圆的位置关系, 可以得到一个或两个圆, 记为轨迹Γ.

结论是: 以轨迹Γ上任意一点O为圆心的反演变换将⊙A和⊙B映为等圆.

其中包括一个极限情形: 两圆相交时轨迹Γ也过两圆交点, 若取O为交点,

则⊙A, ⊙B都反演为直线, 即半径无穷大的"等圆".

如果不接受半径无穷大的概念, 可以从轨迹Γ中去掉交点.

以上结论我是用解析法计算得到的, 虽然计算比较简单, 但是感觉应该有更好的证法.

因此不在这里写证明了, 等想到好方法再说 (需要的话请追问).

这里就附一下图.

说明: 图中的绿色和蓝色大圆分别是⊙A, ⊙B;

紫色虚线圆是轨迹Γ, 也即⊙M, ⊙N;

红色圆⊙O1, ⊙O2是圆心分别在⊙M, ⊙N上的反演圆;

反演得到的圆都以与原来相同的颜色表明.

半径相等这一点至少看上去是对的 (需要怎样的明确表示也请追问).

a) 相交情形:

b) 外离情形:

c) 内含情形:

不论内切外切都只是⊙M与⊙N之一退化为1点的情形, 并没有太大区别.

所以暂时不附了, 需要还请追问.

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