里茨法例题 里兹法的求解步骤

结构动力学的数学模型

将结构离散化的方法主要有以下三种：①集聚质量法：把结构的分布质量集聚于一系列离散的质点或块，而把结构本身看作是仅具有弹性性能的无质量系统。由于仅是这做袭些质点或块才产生惯性力，故离散系统的运动方程只以这些质点的位移或块的位移和转动作为自由度。对于大部分质量集中在若干离散点上的结构，这种方法特别有效。②瑞利－里兹法（即广义位移法）：假定结构在振动时的位形（偏离平衡位置的位移形态）可用一系列事先规定的容许位移函数fi（它们必须满足支承处的约束条件以及结构内部位移的连续性条件）之和来表示，例如，对于一维结构，它的位形u(x)可以近似地表为：
(1)
式中的qj称为广义坐标,它表示相应位移函数的幅值。这样，离散系统的运动方程就以广义坐标作为自由度。对于质量分布比较均匀，形状规则且边界条件易于处理的结构，这种方法很有效。③有限元法：可以看作是分区的瑞利－里兹法，其要点是先把结构划分成适当数量的区域（称为单元），然后对每一单元施行瑞早虚利－里兹法。通常取单元边界上（有时也包括单元内部）若干个几何特征点(例如三角形的顶点、边中点等)处的广义位移qj作为广义坐标，并对每个广义坐标取相应的插值函数作为单元内部的位移函数（或称形状函数）。在这样的数学模型中，要求形状函数的组合在相邻单元的公共边界上满足位移陆胡燃连续条件。一般地说，有限元法是最灵活有效的离散化方法，它提供了既方便又可靠的理想化模型，并特别适合于用电子计算机进行分析，是目前最为流行的方法，已有不少专用的或通用的程序可供结构动力学分析之用。

瑞利的瑞利原理

瑞利-瑞利原理瑞利原理用以计算振动系统固有频率的近似值，特别是最小固有频率（即基频）的上界的一个原理，是英国的瑞利于1873年提出的。它是振动理论中的一些极值原理以及计算固有频率和振型的瑞利－里兹法的理论基础。对于一个在稳定平衡位置附近振动的保守系统，假设它以某一满足变形连续条件和位移边界条件的可能位移为振型作简谐振动，它的角频率为[kg]。由于机械能守恒,[kg]系统最大势能[y1]等于最大动能[y1][kg]。[y1]可写成[y1]=[y1],式中[y1]为最大动能系数。最大势能和最大动能系数之比[412-50]称为瑞利商，它是可能位移的泛函。瑞利原理可表述为：当可能位移取某阶固有振型时，瑞利商取驻值，且该值就是对应阶固有角频率的平方。特别地，当可能位移取对应于基频的振型时，瑞利商取最小值，其值就是基频的平方。将瑞利原理应用于固有频率和振型的近似计算，就得到著名的瑞利－里兹法。它将可能位移表达成若干个给定的可能位移的线性组合，从而使瑞利商成为这个线性组合的系数的函数。利用瑞利商的驻值条件将问题化为以这些系数为未知量的代数特征值问题，而特征值就是固有频率近绝汪似值的平方，它们可以很容易地求出。其中，最小特征值是基频平方的偏大的近似值。再求出特征矢量就得到振型。作为特殊情形，若可能位移只用一个给定函数近似表达，就得到瑞利法，用它计算基频的上界非常简桥并便有效。若可能位移和振型的差为一级小量，则用瑞利法求出的频率的误差为二敏宏迹级小量。例如，对一根两端固定且长为的均匀弦,可能位移可以取[412-05]≥0；当[412-01a]。与此对应的瑞利商为：[412-12]，式中[kg2][kg2]为弦中的张力；为单位弦长的质量。由此得到的基频[kg]的近似值为/2[kg]。若分别取=1[kg2]2[kg2]和对应于[kg][kg]取极小时的[412-1]，则对应的近似值分别为[412-2]、[412-3]以及[412-07]。而两端固定的均匀弦的基频的准确值为(1/2)[412-06]。所以基频的上述三个近似值和准确值的相对误差为0.1、0.007和0.001。随着科学的发展，瑞利商和瑞利原理的应用远远超出了原来的范围，它在许多物理和数学领域的理论分析和数值计算技术中起着重要的作用。

瑞利-里兹法的应用:

在机械工程领域，它被用于计算多自由度系统（如弹簧-质量系统、变截面轴上的飞轮）大致的共振频率；还可以计算圆柱体的折断载荷。瑞利-里兹法是瑞利法的扩展。
以下的讨论举一个最简单的例子（2个集中弹簧和2个集中质量，并只考虑2个模态振型）。因此M=[m1,m2]且K=[k1,k2].
为该系统假设一个由两项组成的模态振型，其中一个用因数B加权。例如Y=[1,1]+B[1,–1]。
简谐运动理论认为挠度等于0时的速率为角频率ω乘以最大挠度(y)。本例中，每个质量的动能(KE)等于
等等，而每个弹簧的势能(PE)等于1/2k1Y1^2等等。对于连续系统，该表达式要麻烦得多。
因为引入了无阻尼假设，因此整个系统当y=0时的KE等于v=0时的PE。由于不存在阻尼，系统各点同时达到v=0的状态。
因此，由KE=PE得：
注意模态振型的实际振幅总会从两边消去。也就是说，假设挠度的真正数值并不重要。我们在意的是振型。
由于ω与B有关，为桥缓侍了找到最小的ω，我们令dω/dB=0。此时的B的取值可以使得ω最小。由于振型是假设的，通过该方法得到的ω是需要预测的基频的上界。我们需要得到的是这个上界的最小值。
该方法有很多技巧，最重要的是哪谨试图找到尽量真实的假设振型。例如在梁的挠曲问题中，使用一个尽量接近真实解得变形模态是明智的。对于大部分简单的梁连接问题，即使振型的阶次很低，一个四次的函数就足够了。弹簧和质量并不必离散，它们可以使连续的或者是杂糅的。只要能够描述分布式的KE和PE，或把连续的单元离散，该方法可以很容易编程来找到复杂分布式系统的自然频率。
该方法可以反复迭代使用，敏吵把附加的模态振型叠加到先前的最佳解上。也可以建立一个用许多参数B和振型组合的长表达式，最后对它们求偏导。
在振动问题中，如果将物体的可能位移表达为若干给定的位移的线性组合，而以瑞利商（见瑞利原理）作为位移的泛函，则利用瑞利商取驻值的条件，就可求出物体振动的固有频率的近似值。